Định nghĩa

Một hệ thống động lực ( T , X , f ) {\displaystyle (T,X,f)} là hỗn loạn nếu như tồn tại một hàm f {\displaystyle f} bất biến trên tập Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} , nghĩa là ∀ t ∈ T {\displaystyle \forall t\in T} và ∀ y ∈ Y {\displaystyle \forall y\in Y} , thì f ( t , y ) ∈ Y {\displaystyle f(t,y)\in Y} . Hàm f {\displaystyle f} phải thỏa mãn các tính chất sau:

1. f {\displaystyle f} nhạy cảm với điều kiện các ban đầu của Y {\displaystyle Y}
2. f {\displaystyle f} là hàm chuyển trạng thái topo trên Y {\displaystyle Y} thỏa mãn điều kiện:
   Giả sử có các tập mở (open set) U , V ∈ X {\displaystyle U,V\in X} với U ∩ Y ≠ ∅ ≠ V ∩ Y {\displaystyle U\cap Y\neq \emptyset \neq V\cap Y} , tồn tại một t > 0 {\displaystyle t>0} sao cho f ( t , U ) ∩ V ≠ ∅ {\displaystyle f(t,U)\cap V\neq \emptyset } .
3. Các quỹ đạo tuần hoàn của f {\displaystyle f} là trù mật trên Y {\displaystyle Y}

Hoặc bằng cách diễn giải thông thường, ta nói một hệ thống động lực là hỗn loạn nếu nó mang các tính chất sau đây:

• nhạy cảm với điều kiện ban đầu (hay phải đáp ứng được hiệu ứng cánh bướm);
• quỹ đạo chuyển động tuần hoàn của hệ thống phải trù mật (dense);
• hòa lẫn nhau theo nghĩa topo (topologically mixing).

Sự vận động hỗn loạn

Sự nhạy cảm với các điều kiện ban đầu nghĩa là hai điểm trong một hệ như vậy có thể di chuyển trên những quỹ đạo hoàn toàn khác biệt nhau trong không gian pha của chúng ngay cả nếu như sự khác nhau trong cấu hình ban đầu của chúng là rất nhỏ. Hệ này hành xử hoàn toàn giống nhau nếu như cấu hình ban đầu của chúng là giống nhau một cách chính xác. Một ví dụ về độ nhạy cảm như vậy là hiện tượng gọi là "hiệu ứng bướm", khi mà vẫy cánh của một con bướm được tưởng tượng là tạo ra những thay đổi nhỏ trong khí quyển mà sau một quãng thời gian đủ lớn sẽ tạo nên những thay đổi lớn như là một cơn bão có thể xảy ra. Cái vẫy cánh của con bướm biểu diễn một thay đổi nhỏ trong trạng thái ban đầu của hệ tạo ra một chuỗi các sự kiện để dẫn đến những hiện tượng ở phạm vi rộng lớn hơn như là một cơn bão. Nếu như một con bướm đã không vẫy cánh, quỹ đạo của hệ có thể rất khác xa. Các ví dụ phổ biến khác của các chuyển động hỗn loạn là sự pha trộn của thuốc nhuộm và các dòng khí chuyển động hỗn loạn.

Sự nhạy cảm đối với điều kiện ban đầu liên quan đến hàm mũ Lyapunov.

Hòa trộn topo

Hòa trộn topo (topological mixing) hay chuyển trạng thái topo (topological transitivity) nghĩa là khi ta áp dụng phép biến đổi lên bất kì một đoạn bất kì I 1 {\displaystyle I_{1}} sẽ làm nó mở rộng ra cho đến khi đó chồng lên với một đoạn cho trước bất kì I 2 {\displaystyle I_{2}} .

Tính hòa lẫn nhau, các điểm tuần hoàn trù mật, và sự nhạy cảm đối với điều kiện ban đầu có thể mở rộng ra bất kì không gian metric nào.

Vùng thu hút

Một cách để nhìn thấy các chuyển đổng hỗn loạn, hay bất kì một thứ chuyển động nào, là vẽ sơ đồ pha của chuyển động đó. Trong một sơ đồ như vậy thời gian không được biểu diễn và mỗi trục đại diện cho một chiều của trạng thái. Chẳng hạn, ta có thể vẽ vị trí của một con lắc so với vận tốc của nó. Con lắc ở điểm dừng sẽ được vẽ bằng 1 điểm và một con lắc tuần hoàn lắc lư qua lại sẽ được vẽ bằng một đường cong khép kín. Khi một sơ đồ làm thành một đường cong khép kín, đường cong đó được gọi là một quỹ đạo. Con lắc của chúng ta có vô số quỹ đạo, tạo thành một vết các hình ellip lồng vào nhau xung quanh gốc tọa độ.

Thông thường thì các sơ đồ pha sẽ cho thấy rằng đa số các quỹ đạo trạng thái sẽ quấn quanh và tiến đến một giới hạn chung nào đó. Hệ thống này cuối cùng sẽ có một chuyển động giống nhau cho tất cả các trạng thái ban đầu trong một vùng xung quanh chuyển động, như thể như là hệ thống bị hút vào đó. Một chuyển động thu hút như vậy được gọi là một vùng thu hút của hệ thống và rất phổ biến cho các hệ thống có lực tiêu tán dần.

Phạm vi của các sự hấp dẫn